とても久しぶりに更新しました。 最大公約数について、ふと思ったことからいろいろ考えてまとめたものです。 何年か前に話題になったっぽいですが、私はそのころは気にしてなかったので、何番煎じだよという内容かもしれません。ですがせっかくなので載せて…
Mathematical Logic Advent Calendar 2020 13日の記事です．モデル理論の大きな定理であるタイプの排除定理について考えました． モデルを拡大する際にうまくタイプの排除をすることでほしい条件だけを追加したモデルをつくることができます． 一般の排除定…
今回はこの定理を追おうと思ったきっかけからお話しさせていただければと思います．算術の超準モデルというものを知ったとき，今までの自然数に対する見方が変わり，改めて数学の奥深さを感じました． 自然数という基本中の基本ともいうべきものの中に知らな…
今回はTennenbaumの定理（の前準備）に必要な素モデルとタイプについてかきました．切りどころがつかめなかったので今回は短めです。あくまでもTennenbaumの定理の証明を目指していますが，定義可能な元の集合や素モデルはそれ自体が興味深い対象です．そこ…
タイトルの通り，たまにみかけるこの手の問題について考えてみました． 普段はPeano算術を順序環＋数学的帰納法とする立場をとっているため，今回のように考えるのは新鮮でした． 今回思いついたままにかき上げてしまったため誤りや誤植があるかもしれません…
ペアノ算術についての有名な定理に，Tennenbaumの定理というものがあります． これは，算術の超準モデルは再帰的ではないというもので，超準モデルの性質に関心がある私としてはとても興味をひかれる定理です．というわけで，今回からTennenbaumの定理の証明…
最近 についてのモデル理論を勉強中のため， 雑記帳，備忘録としてここにさまざまなことをまとめておこうと思います．厳密な議論でないものや私見を多々含みます． かなり個人的な解釈を述べている部分もあります． さらに，勉強した分適宜更新していくため…
Baldwin と Lachlan は前回示した系3.7と3.8の逆，すなわち ”理論 が -安定で Vaught 対をもたなければ 任意の非可算な に対して -範疇的になる” という定理（Baldwin-Lachlan の定理）を示しました．ここから範疇性定理が簡単に示されるので，今回は Baldwi…
今回は，識別不能集合についてまとめました．最後に系3.7と3.8で紹介していることが重要になります．というのも， これらの系とその逆を示すことできれば，範疇性定理を示すことができる からです．やっとここまできたという感じがあります．
今回は二回目の寄り道です．いろいろな理論に対して，可算モデルの数を数えてみようと思います．可算言語上の完全な理論おいては可算モデルは高々 個しかありませんから，可算モデルがひとつしかないような理論や，可算個ある理論にはどんなものがあるだろう…
ある理論 が -範疇的であるとは， 「濃度が である任意の二つのモデルが同型である」 ときにいい，目標である範疇性定理は当然この範疇性にかかわる定理です．さて，今回は逆に「範疇的でない理論」を考えようと思います．どのような理論は範疇的にならない…
今回は飽和モデルの応用です．飽和モデルを利用することで，量化記号の消去の可否を調べることができます．そのことをみるのが目標です．この量化記号消去の応用例として，微分体の理論があるようですが，寄り道なのでそこまではまとめていません．また，代…
前回は，素モデルについて考えました．素モデルとは簡単にいってしまえば， 「任意のモデルに初等的に埋め込むことができるモデル」 ということになります．この意味で，素モデルとは「小さな」モデルということになるでしょう．では，逆に，「大きな」モデ…
範疇性定理への第二歩目です．ここでは実現するタイプの少ない理論を考えます． まずは均質性を導入し，素モデルが同型を除いて一意に決まることを示します． 続いて今後重要となる －安定性を導入します．この －安定性をもつ理論というのが簡単にいってし…
範疇性定理を目指して少しずつ勉強をしていこうと思います． まずは素モデル，原子モデルを導入し可算言語上の無限モデルをもつ完全理論でその同値性を，さらには完全タイプのなす空間で孤立タイプが稠密になることも同値であることを示します．
Advent Calendarの続きです．完全タイプのなす空間についてまとめました． 現在未完成の状態ですが，明日から仕事はじめということでいつ完成するかわからないため，とりあえず挙げておこうと思います． 追記：例として端点がない稠密な線形順序DLOを追加し…
Advent Calendarも今日で折り返しとなりました． 今までに10以上の記事が載ってますが，他の参加者の方々の記事の内容がさっぱりわかりません． ということで，私は基本的なことを記事にしてみました． タイプについて，そもそもタイプとは？といったところ…
