範疇性定理を目指して（寄り道）　～可算モデルを数える～

今回は二回目の寄り道です．

いろいろな理論に対して，可算モデルの数を数えてみようと思います．

可算言語上の完全な理論おいては可算モデルは高々 $2^{\aleph_0}$ 個しかありませんから，

可算モデルがひとつしかないような理論や，

可算個ある理論にはどんなものがあるだろう

と考えるのはなかなか興味深いことだと思います．

そのなかで，実は

可算モデルをふたつだけもつ理論は存在しない（今回は示しません）

のですが，

可算モデルをひとつだけもつ理論

可算モデルを $n$ 個 $n \geq 3$ もつ理論

可算モデルを $\aleph_0$ 個もつ理論

可算モデルを $2^{\aleph_0}$ 個もつ理論

はすべて存在し，今回それぞれ例をみていこうと思います．

今回は雰囲気を感じることを主にしていますので証明など，

少し荒い部分があるかもしれません．

いろいろと勉強したもの